EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

A les imatges següents es poden veure dos exemples en els que s’aplica la propietat distributiva del producte respecte a la suma, el gràfic explica aquesta propietat que es farà servir en aquesta unitat. Observa atentament les àrees dels rectangles i construeix figures similars per aplicar aquesta propietat.

                                   

A la següent imatge es mostren dues expressions algebraiques. Una altra expressió algebraica és, per exemple, 0,27x², que és tradueïx com el 27 per cent del quadrat, .

Què són les expressions algebraiques? Una expressió algebraica és un conjunt de nombres i lletres enllaçats per les operacions de sumar, restar, multiplicar, dividir i per parèntesis. Por exemple: 3+2·x² -x  o  x·y-32·(x·y² -y). Les lletres representen valors que no coneixem i podem considerar-les com la generalització d’un nombre. Les anomenarem variables. 

EXEMPLES:

Com les obtenim? Pretenem transformar un enunciat, on hi ha un o més valors que no coneixem, en una expressió algebraica. Cadascun dels valors (variables) que no coneixem el representarem per una lletra diferent.

EXEMPLE:

La cinquena part d'un nombre menys el doble d'un altre nombre:  x/5 - 2y

Valor numèric Si en una expressió algebraica substituïm les lletres (variables) per nombres, el que tindrem serà una expressió numèrica. El resultat d’aquesta expressió és el que anomenem valor numèric de l’expressió algebraica per a aquests valors de les variables. 

EXEMPLE:

MONOMIS

Què són? Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d’un nombre i una o més variables. El nombre l’anomenarem coeficient i el conjunt de les variables, part literal. Anomenarem grau del monomi a la suma dels exponents de la seva part literal. I grau respecte d’una variable, a l’exponent d’aquesta variable. Dos monomis són semblants si les seves parts literals són iguals. Dos monomis són oposats si són semblants i els seus coeficients són oposats.

EXEMPLE:

Sumar i restar monomis Tres peres i dues peres són 5 peres. Però 3 peres i 2 pomes no són 5 peres ni 5 pomes, són 3 peres + 2 pomes.

El mateix passa amb els monomis. Si dos monomis són semblants, sumem o restem els coeficients i deixem el mateix literal. Si no són semblants, aquesta operació no pot expressar-se de manera més simplificada. 3x+2x=5x, però les expressions 3x²+2x o 2x+7y no es poden simplificar.  

Multiplicar monomis El producte de dos monomis és un monomi que té per coeficient el producte dels coeficients i per part literal el producte de les parts literals (recorda la propietat: aⁿ·a^m=a^n+m). 

Així, (3x²y)·(2x)=(3·2)x²yx=6x²⁺¹y=6x³y

MONOMIS EN LA CIÈNCIA i VIDA QUOTIDIANA

MONOMI DISTÀNCIA DE FRENADA:

En el Codi de Circulació es diu:

"Tot conductor d'un vehicle que circule darrere d'un altre haurà de deixar entre ambdós un espai lliure perquè puga aturar-se en cas de frenada brusca, sense col·lidir amb ell."

Perquè un conductor puga interpretar correctament aquest article del Codi de la Circulació convé saber que la distància que un vehicle recorre a partir del moment en què es comença a frenar depèn de molts factors (estat del sòl i dels pneumàtics, paviment mullat, etc .), però fonamentalment del quadrat de la velocitat que porta el vehicle, d'acord amb la següent fórmula:

On la velocitat ‘v’ ve expressada en km/h i ‘d és la distància recorreguda en metres (distància de frenada). 
ACTIVITAT 1:
Calcula la distància de frenada en funció dels següents valor de velocitat:

a) 25 km/h   b) 50km/h   c) 100 km/h   d) 120 km/h   e) 200 km/h

MONOMI ESPAI RECORREGUT EN CAIGUDA LLIURE.
Si tenim una pilota i la deixem caure des de un terrat, podem calcular la distància recorreguda per la pilota mesuran el temps 't' de durada fins arribar a terra. L'expressió algebraica que descriu aquest fenomen és el monomi:

On 't' és el període de temps durant el qual es produeix el moviment expressat en segons. 9.8 m/s2  és el valor de l'acceleració de la gravetat en la superfície terrestre.
ACTIVITAT 2:
Calcula l'alçària d'un edifici des de on deixem caure una pilota que triga 5 segons en caure a terra.

POLINOMIS

Què són? La suma de diversos monomis no semblants és un polinomi.  Si un dels monomis no té part literal, se l’anomena terme independent. Al grau més gran dels de tots els monomis, se l’anomena grau del polinomi. Anomenem els polinomis amb una lletra majúscula, i entre parèntesi les variables que l’integren, però en aquesta pàgina ens limitarem a una sola variable.

És important que sàpigues identificar els coeficients d’un polinomi segons el seu grau; així, si P(x)=x³+2x-4, el seu grau és 3 i el seu coeficient de grau tres és 1, el seu coeficient de grau ú és 2 i el terme independent o coeficient de grau zero és -4.

Un altre exemple:

Sumar i restar polinomis:
Per sumar o restar dos polinomis, operem els seus monomis semblants. Si no els tenen, deixem l’operació indicada.

Així, si P(x)=3x²+4x i Q(x)=4x-1,

P(x)+Q(x)=[3x²+4x]+[4x-1]=3x²+8x-1 

P(x)-Q(x)=[3x²+4x]-[4x-1]=3x²+1

Multiplicar polinomis:
El següent exemple t’ajudarà a dominar aquesta operació.

P(x)=5x²+4x        Q(x)=3x

P(x)·Q(x) = [5x²+4x]·[3x] = = [5x²]·[3x] + [4x]·[3x] = 15x³+12x² 

Divisió de polinomis:

La divisió l'explicarem mitjançant el següent vídeo.

CRITERI DE DIVISIBILITAT PER ONZE AMB POLINOMIS

INTRODUCCIÓ:

La divisió és una operació aritmètica que consisteix a esbrinar quantes vegades un nombre (divisor) està contingut en un altre número (dividend). Per exemple: si volem resoldre 10: 3, aplicant l'algoritme de la divisió tenim:

Aquest algoritme ens permet expressar el número 10 de la manera següent: 10 = 3 • 3 + 1

ACTIVITAT 1:

A) L'algoritme de la divisió es pot aplicar quan hem de dividir dos polinomis. Completa el quadre dividint els polinomis que figuren en el mateix:

Polinomi dividend P(X)	Polinomi divisor C(X)	Polinomi quociente Q(X)	Polinomi residu R(X)
x2 - 1	x + 1
x3 - 2x + 1	x3
x4 -3x + 2	x - 1

B) Utilitzant l'algoritme de divisió, escriu d'una altra manera els polinomis de la primera columna (polinomis dividends). Empra la calculadora en línia Wiris per a realitzar els càlculs (tens l'enllaç a la pàgina del bloc recursos TIC).

C) Completa el quadre. Col·loca en els espais en blanc els polinomis corresponents:

Polinomi dividend P(X)	Polinomi divisor C(X)	Polinomi quociente Q(X)	Polinomi residu R(X)
x2 - 4x + 3		x - 3	0
	x2 - 2	x2 + 2	5
	x2 - x	X	-3

D) Quina relació observes entre el grau del polinomi dividend i el grau dels altres polinomis?

E) En quins casos va ser possible escriure al polinomi com a producte d'altres dos? Quina relació pots observar amb el realitzat en l'apartat anterior?

F) Investiga a Internet o en altres fonts especialitzades què significa "factors d'un polinomi". Un cop llegida la informació, relaciónala amb l'obtingut en l'apartat anterior.

CRITERI DE DIVISIBILITAT PER ONZE AMB POLINOMIS:

Recordeu que a principi de curs, a la unitat 1, estàvem repassant a classe els criteris de divisibilitat i com a exemple calia comprovar que 5786 era un múltiple de 11. Alguns alumnes no es recordaven del criteri del 11 i van dividir directament 5786 entre 11.

Els que sí es van recordar del criteri van fer més o menys el següent:

Hi ara si ens compliquem una mica intentant justificar per què funcionava així el criteri del 11, podriem fer la següent explicació. A continuació: Estigueu molt atents!

     Llegim poc a poc el nombre 5786.

     Cinc mil, set-cents, vuitanta-sis ...

     O siga, 5000 + 700 + 80 + 6.

     O siga, 5 · 1000 + 7 · 100 + 8 · 10 + 6.

     O sigui, 5 · 10³ + 7 · 10² + 8 · 10 + 6.

     I si escrivim ara 10 com els romans (10 = x)

     tenim 5x³ + 7x² + 8x + 6. Un polinomi!

     I també 11 = 10 + 1 = x + 1.

     Així que la divisió 5786: 11 esdevé

     la divisió de polinomis (5x³ + 7x² + 8x + 6): (x + 1).

     I si fem la divisió, el residu d'aquesta divisió serà 0.

     que no és altra cosa que el criteri de l'11.

ACTIVITAT 2:

Tot semblava quadrar ... però se'ns havia oblidat que en aplicar el criteri de l'11 el resultat no ha de ser 0 sinó que pot ser 11 o un múltiple d'11.

  A) Pots solucionar aquest inconvenient amb el que has après?

  B) Quin és el menor múltiple (natural) de 11 per al qual el resultat d'aplicar el criteri és 11?

  C) I quins són els menors múltiples (naturals) de 11 per als quals el resultat d'aplicar el criteri és 22, 33, 44 ...?

  D) T'atreveixes a justificar el criteri del 9 com s'ha explicat anteriorment?

En la divisió numèrica dels nombres enters, la divisibilitat ens dóna a conèixer diversos criteris per reconèixer divisions exactes, amb la qual cosa la part operativa es redueix notablement i sobresurt la part analítica. En els polinomis, la divisió (d'elements: dividend, divisor, quocient i residu) també té propietats de divisibilitat, que són eines per reconèixer divisions algebraiques exactes, ja que això permet trobar les arrels en un polinomi, la qual cosa és fonamental en la teoria d'equacions. Cal conèixer almenys una teoria bàsica de divisibilitat de polinomomios per afrontar amb èxit situacions problemàtiques que es donen en els diversos continguts d'àlgebra.

MODEL GEOMÈTRIC PER AL DESENVOLUPAMENT DE (a + b)·(a − b)

DESCRIPCIÓ DEL MATERIAL:
Tres models de cartolina
 - Un quadrat de costat 'a' del qual s’ha extret un altre quadrat més petit de costat b en un dels seus vèrtexs, tal com mostra la figura de la dreta de la fotografia.
 - La mateixa figura anterior però havent retallat un rectangle tal com es mostra a l’esquerra de la fotografia. Convé retolar clarament els costats: 'a' , 'b' i 'a − b' . 
IMATGE:

CONTINGUTS: 
Geometria, àrees, identitats notables. 

PROPOSTA D’APLICACIÓ DIDÀCTICA: 
Aquest recurs és útil per visualitzar la identitat notable (a + b)·(a − b) = a² − b² . 
En primer lloc superposarem les dues figures i veurem que coincideixen i, per tant, que tenen la mateixa àrea. Després farem dues lectures d’aquesta àrea: 
- L’àrea de la figura de la dreta de la fotografia naturalment és l’àrea del quadrat gran menys la del quadrat petit:  a² − b² . 
- Pel que fa a la figura de l’esquerra podrem reordenar les seves peces fent coincidir els costats a − b dels dos rectangles. Quedarà un rectangle els costats del qual valdran a − b i a + b . Per tant la seva àrea serà (a + b)·(a − b). La coincidència de les dues àrees demostra la identitat. 

CONNEXIONS:
La construcció d’aquest model pot fer-se a la classe de tecnologia. Es tracta també d’una bonica connexió interna entre àlgebra i geometria. 

ALTRES COMENTARIS:
Aquest recurs pot incorporar-se al treball de classe entorn al tema d’identitats notables de manera que el/la professor/a l’utilitzi com un element més de demostració. 

JOC COM A RECURS DIDÀCTIC: JOC DE TAULA

JOC DE TAULA: A MENJAR SI POTS!

MATERIAL:

• Un tauler circular.

• Un dau de 6 cares.

• Tres fitxes per jugador de colors diferents.

• 16 targetes amb expressions algebraiques.

OBJECTIU:

Treballar destreses algebraiques com trobar el valor numèric d'una expressió algebraica o polinomi amb alumnes de 3er d'ESO.

METODOLOGIA:
Es tracta d'un joc per a 4 jugadors. La finalitat del joc és menjar-se les fitxes contràries, guanyant el que aconsegueix eliminar més fitxes al cap d'un nombre determinat de jugades, per exemple, 30.

El joc necessita d'una col·lecció de targetes. En el model que es presenta, aquestes targetes permeten treballar el càlcul d'expressions algebraiques.
Després de jugar amb les targetes, es pot fer una posada en comú, preguntant com s'han calculat les diferents targetes i veient altres possibles fórmules de càlcul.

REGLES DEL JOC
• Cada jugador col·loca les seves 3 fitxes sobre una de les caselles d'eixida.
• Tots les fitxes comencen a girar en el sentit de les fletxes.
• Surt qui major puntuació s'obté a la primera tirada.
• El primer jugador tira el dau i es mou amb qualsevol de les seves fitxes, segons la puntuació obtinguda.
• Cada vegada que un jugador cau en una de les caselles negres ha d'agafar una de les targetes i calcular el resultat obtingut substituint 'x' per la puntuació del dau.
• Aquest número permet assolir o no amb alguna de les seves fitxes, alguna fitxa contrària i menjar-se'l. Si no es pot menjar cap fitxa, s'intenta una altra vegada, traient una altra targeta.
• Si al cap de les dues jugades, el jugador no aconsegueix menjar-se cap fitxa contrària, passa el torn, romanent al seu lloc. Si s'aconsegueix menjar alguna fitxa contrària, ocupa el lloc de la fitxa que s'ha menjat i passa el torn.
• Si s'obté un nombre negatiu, el recorregut es fa en sentit contrari.

JOC COM A RECURS DIDÀCTIC: TRENCACLOSQUES DE POLINOMIS

OBJECTIU:

Treballar destreses algebraiques bàsiques com a suma, resta i producte de polinomis per 3r d'ESO.

METODOLOGIA:

El trencaclosques ho ha de resoldre cada alumne individualment, i és important que, abans de començar a retallar, ha de reduir bé totes les expressions i compare els seus resultats amb un altre company per evitar que, en tenir algun error, no puga aconseguir la solució del trencaclosques.

Quan un alumne ha acabat de construir el trencaclosques correctament, ha de pegar el nou rectangle al seu quadern.

Normalment, el joc necessita de tota l'hora de classe. Si el professor es va adonant que cap alumne guanyarà acabant el seu trencaclosques en el temps de classe, pot ajudar al grup donant per exemple les fitxes de les quatre cantonades del trencaclosques.

Si algun alumne no acaba de resoldre el trencaclosques en classe, ha de numerar les fitxes ja col·locades per poder acabar-després sense perdre la feina feta.

El trencaclosques té una única solució.

REGLES DEL JOC:

Aquí tens, les 9 fitxes desordenades d'un trencaclosques blanc.

Cada fitxa té en cadascun dels seus quatre costats una expressió on apareix la lletra x; Aquesta expressió, moltes vegades no està reduïda (simplificada), és a dir que pot aparèixer d'aquesta manera: (4x-3)².

El primer que has de fer és desenvolupar totes les expressions que apareixen al màxim efectuant les operacions necessàries. Quan totes les expressions estiguin reduïdes, has de retallar les 9 fitxes per intentar formar un nou rectangle igual a l'anterior, però en què les expressions simplificades que estiguen unides pels costats, sigan les mateixes.

ORIGEN DE L'ÀLGEBRA

L'orígen de l'àlgebra cal buscar-lo en Babilònia i a Egipte fa uns 4000 anys. Cal assenyalar, que al segle XVI A.C. els egipcis van desenvolupar un àlgebra molt elemental amb la finalitat de poder resoldre problemes quotidians que tenien a veure amb la repartició de queviures, de collites i de materials. Per a això, disposaven d'un mètode per resoldre equacions de primer grau que es deia el "mètode de la falsa posició". Destaca el papir de Rhind, en el qual hi havia una sèrie de problemes plantejats en la resolució dels quals van començar a utilitzar les primeres estratègies algebraiques. Cal assenyalar que al nombre desconegut que es volia obtenir l'anomenaven "munt".

Un dels problemes més representatius i famosos d'aquest papir és el número 24, que estableix el següent:
        "Calcula el valor del munt, si el munt i un setè del munt és igual a 19"

Papir de Rhind 

D'altra banda, cap al segle II A.C. aproximadament, els matemàtics xinesos van escriure el llibre "Art del càlcul matemàtic", en el qual van plantejar diversos mètodes per resoldre equacions de primer i segon grau, així com sistemes de dues equacions amb dues incògnites. Aquests, gràcies al seu àbac ja tenien la possibilitat de representar nombres positius i negatius.

Es pot afirmar, que el precursor de l'àlgebra modern va ser Diofant d'Alexandria, matemàtic grec del segle III, qui va publicar la seva gran obra "Ars magna" en què es van tractar d'una forma rigorosa no només les equacions de primer grau, sinó també les de segon. Va introduir un simbolisme algebraic molt elemental designant la incògnita amb un signe que és la primera síl·laba de la paraula grega arithmos (nombre). Els problemes d'àlgebra que va proposar preparar el terreny del que segles més tard seria la teoria d'equacions.

Al-Jwarizmi. Un altre matemàtic il·lustre va ser Mohammed ibn-Musa Al-Jwarizmi, que va viure aproximadament entre els anys 780 i 850 i va ser membre de la Casa de la Saviesa. A aquest matemàtic, devem el terme àlgebra, que prové del títol del llibre "Al-jabr w'al-muqabalah", que significa ciència de la transposició i de la simplificació.

DONES MATEMÀTIQUES: SOPHIE GERMAIN

En la seva adolescència, l'afició de Sophie Germain (1776-1831) era passar-se nits en blanc estudiant textos de matemàtiques a la biblioteca familiar, la qual cosa era reprovat per la família. Als 19 anys i sota el pseudònim de monsieur Le Blanc, Germain va iniciar una correspondència matemàtica amb Joseph Louis Lagrange (1736-1813), professor d'anàlisi matemàtica a la recentment creada École Polytechnique, als cursos no li estava permès assistir per la seva condició de dona, però dels que es procurava les notes. Germain va ser així mateix una de les primeres estudioses de les Disquisitiones Arithmeticae [1801], obra de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que marca l'inici de la moderna teoria de nombres. Sota el mateix pseudònim, Germain també va conrear una relació epistolar amb Gauss sobre temes aritmètics. Gauss i Germain mai van coincidir. L'anomenat Príncep de les Matemàtiques proposar que Germain rebés un doctorat honoris causa per la Universitat de Göttingen, però ella va morir abans que la universitat es hagués pronunciat al respecte. En 1816 els estudis de Germain sobre vibracions de superfícies elàstiques, un treball pioner en matemàtica aplicada per part d'una dona, li van valer el premi extraordinari concedit per la Acadèmia de Ciències de París.